已知函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
3
2
．
（1）求f(
1
2
)的值；
（2）若數(shù)列{an}滿足an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(
n
n
)  (n∈{N，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=
2
4an-5
 (n∈{N，求數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和Tn．
分析：（1）在f(x)+f(1-x)=
3
2
中，令x=
1
2
，可求出f(
1
2
)的值；
（2）利用倒序相加法可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）根據(jù)數(shù)列{Cn}的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可利用裂項(xiàng)求和法進(jìn)行求解．
解答：解：（1）在f(x)+f(1-x)=
3
2
中，
令x=
1
2
得f(
1
2
)+f(1-
1
2
)=
3
2

∴f(
1
2
)=
3
4

（2）∵an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)
an=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)
根據(jù)f(x)+f(1-x)=
3
2
，
∴f（0）+f（1）=
3
2
，f(
1
n
)+f(
n-1
n
) =
3
2
，…
∴2an=
3(n+1)
2

∴an=
3n+3
4

（3）∵bn=
2
4an-5
=
2
3n-2

∴Cn=bnbn+1=
4
(3n-2)(3n+1)
=
4
3
(
1
3n-2
-
1
3n+1
)
∴Tn=C1+C2+…Cn=
4
3
[(1-
1
4
)+(
1
4
-
1
7
)+…+(
1
3n-2
-
1
3n+1
)]=
4
3
(1-
1
3n+1
)=
4n
3n+1
點(diǎn)評：本題主要考查了倒序相加法求數(shù)列的通項(xiàng)，以及利用裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的和，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點(diǎn)P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實(shí)數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個(gè)值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實(shí)數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個(gè)命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個(gè)點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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同步練習(xí)冊答案