Question

甲袋中裝有大小相同的紅球1個(gè)，白球2個(gè)；乙袋中裝有與甲袋中相同大小的紅球2個(gè)，白球3個(gè)．先從甲袋中取出1個(gè)球投入乙袋中，然后從乙袋中取出2個(gè)小球．
（Ⅰ）求從乙袋中取出的2個(gè)小球中僅有1個(gè)紅球的概率；
（Ⅱ）記從乙袋中取出的2個(gè)小球中白球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）記“乙袋中取出的2個(gè)小球中僅有1個(gè)紅球”為事件A，包含如下兩個(gè)事件：“從甲袋中取出1紅球投入乙袋，然后從乙袋取出的兩球中僅1個(gè)紅球”、“從甲袋中取出1白球投入乙袋，然后從乙袋取出的兩球中僅1個(gè)紅球”，分別記為事件A₁、A₂，由A₁與A₂互斥，能求出從乙袋中取出的2個(gè)小球中僅有1個(gè)紅球的概率．
（Ⅱ）由題意知ξ=0、1、2．分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
解答：解：（Ⅰ）記“乙袋中取出的2個(gè)小球中僅有1個(gè)紅球”為事件A，
包含如下兩個(gè)事件：“從甲袋中取出1紅球投入乙袋，然后從乙袋取出的兩球中僅1個(gè)紅球”、
“從甲袋中取出1白球投入乙袋，然后從乙袋取出的兩球中僅1個(gè)紅球”，
分別記為事件A₁、A₂，且A₁與A₂互斥，
則：P（A₁）==，P（A₂）==，（4分）
∴P（A）==，
故從乙袋中取出的2個(gè)小球中僅有1個(gè)紅球的概率為．（6分）
（Ⅱ）由題意知ξ=0、1、2．
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=+=，
P（ξ=2）=+=，（答對(duì)一個(gè)得1分）（9分）
∴ξ的分布列為

ξ		1	2
P

∴Eξ=0×+1×+2×=．（分布列（1分），方差（2分）；分布列部分對(duì)給1分）（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型之一．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．