Question

6．已知圓D經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，0），且與圓C：x²+y²+2x-6y+5=0切于點(diǎn)N（1，2）．
（Ⅰ）求兩圓過(guò)點(diǎn)N的公切線方程；
（Ⅱ）求圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心C（-1，3），直線CN的斜率，得到公切線的斜率k=2，即可求公切線方程．
（Ⅱ）求出線段MN的中垂線方程為y=1，求出圓心D（3，1），求出圓D的半徑，即可求解圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x+1）²+（y-3）²=5，圓心C（-1，3）．（2分）
直線CN的斜率${k_{CN}}=\frac{3-2}{-1-1}=-\frac{1}{2}$，（3分）
因?yàn)檫^(guò)N的公切線與直線CN垂直，所以公切線的斜率k=2，（4分）
故所求公切線方程y-2=2（x-1），即2x-y=0．（6分）
（Ⅱ）直線CN方程為$y-2=-\frac{1}{2}（{x-1}），即x+2y-5=0$，（7分）
線段MN的中垂線方程為y=1，（8分）
解$\left\{\begin{array}{l}x+2y-5=0\\ y=1\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right.$，即圓心D（3，1）．（10分）
圓D的半徑為$|{MD}|=\sqrt{{{（{3-1}）}^2}+{1^2}}=\sqrt{5}$，（11分）
所以圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-3）²+（y-1）²=5．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的方程的求法，切線方程的求法，考查計(jì)算能力．