Question

14．設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{a}+\frac{a}{{4}^{x}}$是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）設(shè)g（x）=$\frac{{4}^{x}}{f（x）-{4}^{-x}+2}$，求g（$\frac{1}{2015}$）+g（$\frac{2}{2015}$）+…+g（$\frac{2013}{2015}$）+g（$\frac{2014}{2015}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，求出g（x）+g（1-x）=1是定值即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{a}+\frac{a}{{4}^{x}}$是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x），
即$\frac{{4}^{-x}}{a}$+$\frac{a}{{4}^{-x}}$=$\frac{{4}^{x}}{a}+\frac{a}{{4}^{x}}$，
即$\frac{1}{{4}^{x}a}$+a•4^x=$\frac{{4}^{x}}{a}+\frac{a}{{4}^{x}}$，
即a（${4}^{x}-\frac{1}{{4}^{x}}$）=$\frac{1}{a}$（${4}^{x}-\frac{1}{{4}^{x}}$），
則a=$\frac{1}{a}$，得a=1或a=-1，
∵a＞0，∴a=1；
（2）∵a=1，∴f（x）=4^x+$\frac{1}{{4}^{x}}$，
設(shè)0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=${4}^{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}}$-${4}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}}$=（${4}^{{x}_{1}}$-${4}^{{x}_{2}}$）+$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}}$=（${4}^{{x}_{1}}$-${4}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}{4}^{{x}_{2}}}$
=（${4}^{{x}_{1}}$-${4}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}{4}^{{x}_{2}}}$=（${4}^{{x}_{1}}$-${4}^{{x}_{2}}$）•$\frac{{4}^{{x}_{1}}{4}^{{x}_{2}}-1}{{4}^{{x}_{1}}{4}^{{x}_{2}}}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴1＜${4}^{{x}_{1}}$＜${4}^{{x}_{2}}$•
則${4}^{{x}_{1}}$-${4}^{{x}_{2}}$＜0，${4}^{{x}_{1}}$•${4}^{{x}_{2}}$-1＞0•
則f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）g（x）=$\frac{{4}^{x}}{f（x）-{4}^{-x}+2}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+\frac{1}{{4}^{x}}-{4}^{-x}+2}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，
則g（x）+g（1-x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{1-x}}{{4}^{1-x}+2}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$$+\frac{4}{4+2•{4}^{x}}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{2}{2+{4}^{x}}$=$\frac{{4}^{x}+2}{{4}^{x}+2}=1$，
設(shè)g（$\frac{1}{2015}$）+g（$\frac{2}{2015}$）+…+g（$\frac{2013}{2015}$）+g（$\frac{2014}{2015}$）=S
則g（$\frac{2014}{2015}$）+g（$\frac{2013}{2015}$）+…+g（$\frac{2}{2015}$）+g（$\frac{1}{2015}$）=S，
兩式相加得2S=2014[g（$\frac{1}{2015}$）+g（$\frac{2014}{2015}$）]=2014×1=2014，
則S=1007．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．