Question

設(shè)m、n，是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題，
①若m⊥n，m⊥α，n?α，則n∥α；　　 ②若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，則n⊥α或n⊥β；
③若m⊥β，α⊥β，則m∥α；　　　　　 ④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β．
其中正確命題的序號(hào)是________（把所有正確命題的序號(hào)都寫(xiě)上）．

Answer 1

①④
分析：根據(jù)同垂直于一條直線的直線和平面的位置關(guān)系，得到①正確；根據(jù)直線與平面垂直的定義與性質(zhì)，得到②不正確；根據(jù)同垂直于一個(gè)平面的直線和平面的位置關(guān)系，得到③不正確；根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定與性質(zhì)，得到④正確．由此得到正確答案．
解答：對(duì)于①，若m⊥n，m⊥α，即n、α同時(shí)與直線m垂直，
可得n?α或n∥α，但是已知條件中有n?α，所以n∥α成立，故①正確；
對(duì)于②，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，n可在與直線m垂直的平面γ內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，
必定存在直線m的位置，使它平面α、β都不垂直，故“n⊥α或n⊥β”不成立，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，若m⊥β，α⊥β，即m、α同時(shí)與平面β垂直，則m∥α或m?α，不一定有m∥α，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若m⊥α，則直線m是平面α的法線，同理n⊥β，直線n是平面β的法線，
而m⊥n，說(shuō)明平面α的法線與β的法線互相垂直，因此“α⊥β”成立，故④正確．
故答案為①④
點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了空間直線與平面的位置關(guān)系和平面與平面的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．