已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx.
(1)若函數(shù)y=f(x)在x=2處有極值-6,求y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)對(duì)x∈[-1,1]都有f′(x)≤2,求數(shù)學(xué)公式的范圍.

解:(1)f′(x)=3x2+2ax+b
依題意有解得
∴f′(x)=3x2-5x-2
由f′(x)<0,即(3x+1)(x-2)<0,解得
∴y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是:;

(2)由
不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示:
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-1).
設(shè),則z表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(a,b)與點(diǎn)P(1,0)連線斜率.
∵KPQ=1,由圖可知z≥1或z≤-2,

分析:求出f′(x),(1)根據(jù)函數(shù)在x=2處有極值-6得到f′(2)等于0且f(2)等于-6,聯(lián)立即可求出a與b的值代入到導(dǎo)函數(shù)中得到其解析式,令導(dǎo)函數(shù)小于0得到關(guān)于x的不等式,求出解集即為函數(shù)的遞減區(qū)間;
(2)因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)x∈[-1,1]都有f′(x)≤2得到f′(1)和f′(-1)都小于等于2,聯(lián)立構(gòu)成不等式組,在平面直角坐標(biāo)系中畫出組成的區(qū)域如圖陰影部分,設(shè)z等于,則z表示陰影部分中任意一點(diǎn)(a,b)與(1,0)連線的斜率,根據(jù)圖形可得出z的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):此題要求學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定圓函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,掌握函數(shù)取極值時(shí)所滿足的條件,以及會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,是一道中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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