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【題目】古希臘數學家阿波羅尼奧斯發(fā)現：平面上到兩定點，距離之比為常數且的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體中，，點在棱上，，動點滿足．若點在平面內運動，則點所形成的阿氏圓的半徑為________；若點在長方體內部運動，為棱的中點，為的中點，則三棱錐的體積的最小值為___________．

【答案】

【解析】

（1）以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標系，設，求出點P的軌跡為，即得解；（2）先求出點P的軌跡為，P到平面的距離為，再求出的最小值即得解.

（1）以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標系，則設，

由得，

所以，

所以若點在平面內運動，則點所形成的阿氏圓的半徑為.

（2）設點，由得，

所以，

由題得

所以設平面的法向量為，

所以，

由題得，

所以點P到平面的距離為，

因為，

所以，所以點M到平面的最小距離為，

由題得為等邊三角形，且邊長為，

所以三棱錐的體積的最小值為.

故答案為：(1). (2). ．

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)有3個不同值班地點，每個值班地點需配一名醫(yī)務人員和兩名警察，現將3名醫(yī)務人員（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到這3個地點去值班，要求每個值班地點至少有一名女性，則共有______種不同分配方案.（用具體數字作答）

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【題目】如圖，某大型廠區(qū)有三個值班室，值班室在值班室的正北方向千米處，值班室在值班室的正東方向千米處．

（1）保安甲沿從值班室出發(fā)行至點處，此時，求的距離；

（2）保安甲沿從值班室出發(fā)前往值班室，保安乙沿從值班室出發(fā)前往值班室，甲乙同時出發(fā)，甲的速度為千米/小時，乙的速度為千米/小時，若甲乙兩人通過對講機聯(lián)系，對講機在廠區(qū)內的最大通話距離為千米（含千米），試問有多長時間兩人不能通話？

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【題目】已知函數.

（1）若是的極值點，求a的值及的單調區(qū)間；

（2）若對任意，不等式成立，求a的取值范圍.

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【題目】如圖1，在邊長為2的等邊中，分別為邊的中點，將AED沿折起，使得 ， ，得到如圖2的四棱錐A-BCDE，連結，且與交于點．

（1）求證：平面;

（2）求二面角的余弦值．

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【題目】已知函數．（是自然對數的底數）

（1）求的單調遞減區(qū)間；

（2）記，若，試討論在上的零點個數．（參考數據：）

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【題目】自由購是通過自助結算方式購物的一種形式. 某大型超市為調查顧客使用自由購的情況，隨機抽取了100人，統(tǒng)計結果整理如下：

20以下

70以上

使用人數

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數

0

0

3

14

36

3

0

（Ⅰ）現隨機抽取 1 名顧客，試估計該顧客年齡在且未使用自由購的概率；

（Ⅱ）從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中，隨機抽取3人進一步了解情況，用表示這3人中年齡在的人數，求隨機變量的分布列及數學期望；

（Ⅲ）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預計有5000人購物，試估計該超市當天至少應準備多少個環(huán)保購物袋.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學家、數學家、物理學家，對幾何學、力學等學科作出過卓越貢獻.為調查中學生對這一偉大科學家的了解程度，某調查小組隨機抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”，少于三項的稱為“不太了解”.

調查結果如下：

0項

1項

2項

3項

4項

5項

5項以上

理科生（人）

1

10

17

14

14

10

4

文科生（人）

0

8

10

6

3

2

1

（1）完成如下列表，并判斷是否由的把握認為.了解阿基米德與選擇文理科有關？

比較了解

不太了解

合計

理科生

p>

文科生

合計

（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.

（i）求抽取的文科生和理科生的人數；

（ii）從10人的樣本中隨機抽取兩人，求兩人都是文科生的概率.

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴重急性呼吸綜合征（）等較嚴重疾病.而今年出現在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)現的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.

某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.

方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.

若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為.

假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.

（1）若，試求p關于k的函數關系式；

（2）若p與干擾素計量相關，其中（）是不同的正實數，

滿足且（）都有成立.

（i）求證：數列等比數列；

（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數的期望值更少，求k的最大值

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