Question

（2012•朝陽區(qū)一模）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=

3

，EF=1，BC=

13

，且M是BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角D-AF-B的大��；
（Ⅲ）在線段EB上是否存在一點(diǎn)P，使得CP與AF所成的角為30°？若存在，求出BP的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明EM∥平面ADF，利用線面平行的判定，證明EM平行于平面ADF中一條直線即可；也可建立如空間直角坐標(biāo)系，求出平面ADF的一個(gè)法向量，證明

EM

⊥

n

；
（Ⅱ）平面ADF的一個(gè)法向量是

n

=(2，3，

3

)，

BD

=(3，0，0)是平面EBAF的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角D-AF-B的大��；
（Ⅲ）假設(shè)在線段EB上存在一點(diǎn)P，使得CP與AF所成的角為30°，不妨設(shè)P（0，0，t）（0≤t≤

3

），則

PC

=(3，-2，-t)，

AF

=(0，-1，

3

)，利用向量的夾角公式，求出t的值，即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：取AD的中點(diǎn)N，連接MN，NF．

在△DAB中，M是BD的中點(diǎn)，N是AD的中點(diǎn)，所以MN∥AB，MN=

1

2

AB，
又因?yàn)?span id="htp33vh" class="MathJye">EF∥AB，EF=

1

2

AB，
所以MN∥EF且MN=EF．
所以四邊形MNFE為平行四邊形，
所以EM∥FN．
又因?yàn)镕N?平面ADF，EM?平面ADF，
故EM∥平面ADF．…（4分）
解法二：因?yàn)镋B⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B為原點(diǎn)，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz．…（1分）
由已知可得 B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），C(3，-2，0)，E(0，0，

3

)，F(xiàn)(0，1，

3

)，M(

3

2

，0，0)
（Ⅰ）

EM

=(

3

2

，0，-

3

)，

AD

=(3，-2，0)，

AF

=(0，-1，

3

)．…（2分）
設(shè)平面ADF的一個(gè)法向量是

n

=（x，y，z）．
由

n • AD =0 n • AF =0

得

3x-2y=0 -y+ 3 z=0

令y=3，則

n

=(2，3，

3

)．…（3分）
又因?yàn)?span id="bv3jtpx" class="MathJye">

EM

•

n

=(

3

2

，0，-

3

)•(2，3，

3

)=3+0-3=0，
所以

EM

⊥

n

，又EM?平面ADF，所以EM∥平面ADF．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知平面ADF的一個(gè)法向量是

n

=(2，3，

3

)．
因?yàn)镋B⊥平面ABD，所以EB⊥BD．
又因?yàn)锳B⊥BD，所以BD⊥平面EBAF．
故

BD

=(3，0，0)是平面EBAF的一個(gè)法向量．
所以cos＜

BD

，

n

＞=

BD • n

| BD |•| n |

=

1

2

，又二面角D-AF-B為銳角，
故二面角D-AF-B的大小為60°．…（10分）
（Ⅲ）解：假設(shè)在線段EB上存在一點(diǎn)P，使得CP與AF所成的角為30°．
不妨設(shè)P（0，0，t）（0≤t≤

3

），則

PC

=(3，-2，-t)，

AF

=(0，-1，

3

)．
所以cos＜

PC

，

AF

＞=

| PC • AF |

| PC |•| AF |

=

|2- 3 t|

2 t2+13

，
由題意得|

2- 3 t

2 t2+13

|=

3

2

，化簡(jiǎn)得-4

3

t=35，
解得t=-

35

4 3

＜0．
所以在線段EB上不存在點(diǎn)P，使得CP與AF所成的角為30°．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，確定平面的法向量，利用向量的夾角公式是關(guān)鍵