Question

如圖，三個(gè)同樣大小的長方形并排一行．
（1）求f（x）=（

OA

•

OC

-6）x²+

OA

•

OB

x+

OB

•

OC

，（x∈[-4，1]）的最大值及最小值；
（2）求

OA

與

OC

夾角的余弦值及tan（∠AOB+∠COD）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù),數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）建立平面直角坐標(biāo)系，求出向量

OA

，

OB

，

OC

的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積公式，可求出

OA

•

OC

，

OA

•

OB

，

OB

•

OC

的值，代入可得函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的最值；
（2）代入向量夾角公式，可得

OA

與

OC

夾角的余弦值，∠AOB的余弦值，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和的正切公式，得到答案．

解答： 解：（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A（1，2），B（2，2），C（3，2）
則

OA

=（1，2），

OB

=（2，2），

OC

=（3，2）

OA

•

OC

=7，

OA

•

OB

=6，

OB

•

OC

=10，
代入f（x）=x²+6x+10，（x∈[-4，1]）
∵f（x）=x²+6x+10的圖象是開口朝上，且以直線x=-3為對(duì)稱軸的拋物線，
故f（x）在[-4，-3]上為減函數(shù)，在[-3，1]上為增函數(shù)，
當(dāng)x=-3時(shí)，函數(shù)取最小值1，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最大值17．
（2）∵cos∠AOC=

OA • OC

| OA |•| OC |

=

7

5 • 13

=

7 65

65

，
cos∠AOB=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

6

5 •2 2

=

3 10

10

，
故sin∠AOB=

10

10

，tan∠AOB=

1

3

，
又∵tan∠COD=

2

3

，
∴tan（∠AOB+∠COD）=

tan∠AOB+tan∠COD

1-tan∠AOB•tan∠COD

=

1 3 + 2 3

1- 1 3 × 2 3

=

9

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩角和的正切函數(shù)，數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，向量的數(shù)量積，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)，三角函數(shù)與向量的綜合應(yīng)用，難度中檔．