Question

已知函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且f′（x）=2x-1，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n）（n∈N*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_n+log₃n=log₃b_n求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）由導(dǎo)函數(shù)得到原函數(shù)f（x），因?yàn)楹瘮?shù)f（x）過原點(diǎn)，把（0，0）代入求出f（x）得到S_n=f（n）推出a_n即可；
（2）由題中（2）的條件求出b_n，設(shè)b_n的前n項(xiàng)和為T_n，求出即可．

解答：解：（1）由f′（x）=2x-1得：
f（x）=x²-x+b（b∈R）
∵y=f（x）的圖象過原點(diǎn)，
∴f（x）=x²-x，
∴S_n=n²-n
∴a_n=S_n-S_n-1
=n²-n-[（n-1）²-（n-1）]
=2n-2（n≥2）
∵a₁=S₁=0
所以，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為
a_n=2n-2（n∈N^*）
（2）由a_n+log₃n=log₃b_n得：
b_n=n•3^2n-2（n∈N^*）
T_n=b₁+b₂+b₃++b_n
=3⁰+2•3²+3•3⁴++n•3^2n-2（1）
∴9T_n=3⁰+2•3²+3•3⁴++n•3²ⁿ（2）
（2）-（1）得：8Tn=n•32n-(30+32+34++32n-2)=n•32n-

32n-1

8

∴Tn=

n•32n

8

-

32n-1

64

=

(8n-1)32n-1

64

點(diǎn)評：考查學(xué)生導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用能力，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式．