Question

已知sinα，cosα是方程25x²-5（2t+1）x+t²+t=0的兩根且α為銳角，求t的值．

Answer 1

分析：由已知sinα，cosα是方程25x²-5（2t+1）x+t²+t=0的兩根，結(jié)合韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系），易得到一個兩根之和及兩根之積的表達(dá)式，結(jié)合α為銳角，易求出t的取值范圍，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系，可以構(gòu)造一個關(guān)于t的方程，解方程即可求出t的值．

解答：解：由韋達(dá)定理得sinα+cosα=

2t+1

5

，cosα•sinα=

t2+t

25

（4分）
∵α為銳角
∴sinα＞0，cosα＞0，
則2t+1＞0且t²+t＞0
得t＞0（8分）
則

(2t+1)2

25

-2•

t2+t

25

=1
解之得：t=3或t=-4（舍去），
∴t=3（12分）

點評：本題考查的知識點是一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，及同角三角函數(shù)關(guān)系，其中利用韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系），得到sinα+cosα=

2t+1

5

，cosα•sinα=

t2+t

25

是解答本題的關(guān)鍵．