Question

點P（3，1）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右準線上，過P點的方向向量為

a

=（-2，-5）的光線經直線y=-2反射后通過橢圓的右焦點，則這個橢橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據對稱性可知光線經過直線y=-2反射后的直線過已知過點P（3，1）且方向為

a

=（-2，-5）的直線 與y=-2的交點，反射后所在的直線與x軸的交點即為橢圓的右焦點，從而可求c，再由右準線方程，求得a，再由離心率公式，即可得到．

解答： 解：由題意可得過點P（3，1）的直線的方程為：y-1=

5

2

（x-3），
與y=-2的交點為（

9

5

，-2），
光線經過直線y=-2反射后所在的直線方程為y+2=-

5

2

（x-

9

5

），
與x軸的交點（1，0）即為橢圓的右焦點，即c=1，
由于點P（3，1）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右準線上，
則

a2

c

=3，即a²=3c=3，則離心率為e=

c

a

=

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點評：本題主要考查了利用對稱性求解直線方程，解題的關鍵是要發(fā)現反射關系過入射關系與y=-2的焦點，還要注意方向向量的概念的理解．