Question

如圖，在直角梯形P₁DCB中，P₁D∥BC，CD⊥P₁D且P₁D=6，BC=3，DC=

6

，A是P₁D的中點，沿AB把平面P₁AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45°，設E、F分別為線段AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥面PEC；
（2）求PC與底面ABCD所成角的正弦值；
（3）求D到面ACF的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）法一：判斷出AF∥EM，又AF?面PEC，EM?面PEC，運用判定定理即可證明．
法二：取CD中點為N，判斷得出面AFN∥面PEC，即可證明AF∥面PEC；
（2）判斷出∠PCA為PC與底面所成的角，在Rt△PAC中解決即可．
（3）由VD-ACF=VF-ACD得：

1

3

d•S△ACF=

1

3

•

1

2

PA•S△ACD，利用等積法求解即可．

解答： 解：（1）法一：取PC中點為M，
∵E、F分別為AB、PD中點，
∴FM

∥ .

.

1

2

DC∴FM

∥ .

.

AE
則AF∥EM，又AF?面PEC，EM?面PEC，
∴AF∥面PEC．
法二：取CD中點為N，
∵E、F分別為AB、PD中點，則EC∥AN，又FN∥PC，
∴面AFN∥面PEC，
則AF∥面PEC．
（2）∵PA⊥AB，又AB⊥AD，
∴AB⊥PD，
又∵CD∥AB，
∴CD⊥PD，CD⊥AD，
∴∠PDA為二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°，
在△PDA中，PD=AD=3，
∴PA⊥AD，則PA⊥面ABCD
從而∠PCA為PC與底面所成的角，
在Rt△PAC中，
PA=3，AC=

32+6

=

15

∴PC=2

6

則sin∠PCA=

PA

PC

=

6

4

（3）設D到面ACF的距離為d，
由VD-ACF=VF-ACD得：

1

3

d•S△ACF=

1

3

•

1

2

PA•S△ACD，
∵PA=AD=3，F(xiàn)為PD中點，
∴AF⊥PD，又CD⊥面PAD，
∴AF⊥CD即AF⊥FC，
在△AFC中，AF=

3 2

2

，AC=

15

∴FC=

15-( 3 2 2 )2

=

42

2

∴S△AFC=

1

2

•AF•FC=

3 21

4

又S△ADC=

1

2

•3•

6

=

3 6

2

，
由

1

3

•d•

3 21

4

=

1

3

•

3

2

•

2 6

2

得d=

3 14

7

，
即D到面ACF的距離為

3 14

7

．

點評：本題綜合考查了空間點線面的距離問題，線面的位置關系判斷，屬于中檔題．