Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M分別是BB₁，CC₁與AB的中點，
（1）求證：AE∥平面A₁DF；
（2）求證：A₁M⊥平面AED；
（3）正方體棱長為2，求三棱錐A₁-DEF的體積．

Answer 1

分析：（1）由正方體的幾何特征，可證得EF∥AD，EF=AD，即或四邊形AEFD為平行四DF邊形，進而可得AE∥DF，結合線面平行的判定定理可得AE∥平面A₁DF；
（2）由正方體的幾何特征可得AD⊥A₁M，由E，M分別是BB₁與AB的中點，可得△AA₁M≌△BAE，進而得到A₁M⊥AE，結合線面垂直的判定定理可得：A₁M⊥平面AED；
（3）三棱錐A₁-DEF的體積VA1-DEF=VA1-ADE=VD-A1AE，根據正方體棱長為2，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答：證明：（1）∵E，F分別是BB₁，CC₁的中點
∴EF∥BC，EF=BC
又∵AD∥BC，AD=BC
∴EF∥AD，EF=AD
∴四邊形AEFD為平行四DF邊形，
∴AE∥DF
∵AE?平面A₁DF，DF?平面A₁DF
∴AE∥平面A₁DF
（2）由正方體的幾何特征可得AD⊥平面ABB₁A₁，
又∵A₁M?平面ABB₁A₁，
∴AD⊥A₁M
在正方形ABB₁A₁中，E，M分別是BB₁與AB的中點，
∴△AA₁M≌△BAE
∴∠BAE=∠AA₁M
∵∠BAE+∠AA₁O=90°
∴AA₁M+AA₁O=90°
∴A₁M⊥AE
∵AD∩AE=A，AD，AE?平面AED
∴A₁M⊥平面AED；
（3）∵正方體棱長為2，
∴三棱錐A₁-DEF的體積
VA1-DEF=VA1-ADE=VD-A1AE=

1

3

•S△A1AE•AD=

1

3

•

1

2

•2•2•2=

4

3

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間線面關系的判定定理及幾何特征是解答的關鍵．