Question

設(shè)函數(shù)f（x）=1-e^-x，函數(shù)（其中a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求函數(shù)h（x）=f'（x）•g（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)n∈N^*，求證：（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）=1-e^-x，知f′（x）=-e^-x•（-1）=e^-x，故函數(shù)h（x）=f′（x）•g（x）=xe^-x，h′（x）=（1-x）•e^-x，由此能求出函數(shù)h（x）=f'（x）•g（x）的極值．
（Ⅱ）由題1-e^-x在[0，+∞）上恒成立，由x≥0，1-e^-x∈[0，1），知，分類討論能夠得到不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立時，實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a=時，則，故，由此能證明．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=1-e^-x，∴f′（x）=-e^-x•（-1）=e^-x，
函數(shù)h（x）=f′（x）•g（x）=xe^-x，
∴h′（x）=（1-x）•e^-x，當(dāng)x＜1時，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，h′（x）＜0，
故該函數(shù)在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)h（x）在x=1處取得極大值h（1）=．（4分）
（Ⅱ）由題1-e^-x在[0，+∞）上恒成立，
∵x≥0，1-e^-x∈[0，1），∴，
若x=0，則a∈R，若x＞0，則a＞-恒成立，則a≥0．
不等式恒成立等價于（ax+1）（1-e^-x）-x≤0在[0，+∞）上恒成立，（6分）
令μ（x）=（ax+1）（1-e^-x），則μ′（x）=a（1-e^-x）+（ax+1）e^-x-1，
又令v（x）=a（1-e^-x）+（ax+1）e^-x-1，
則v′（x）=e^-x（2a-ax-1），∵x≥0，a≥0．
①當(dāng)a=0時，v′（x）=-e^-x＜0，
則v（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上單減，∴μ（x）≤μ（0）=0，
即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）
②當(dāng)a≥0時，．
�。┤�2a-1≤0，即0＜a時，v′（x）≤0，則v（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴μ（x）≤μ（0）=0，
此時f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（8分）
ⅱ）若2a-1＞0，即a時，若0＜x＜時，
v′（x）＞0，則v（x）在（0，）上單調(diào)遞增，
∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，）上也單調(diào)遞增，
∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不滿足條件．（9分）
綜上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立時，實數(shù)a的取值范圍是[0，]．（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a=時，則，
∴，
當(dāng)x∈[0，2）時，，∴，
令，則x=，
∴，∴，
∴，（12分）
又由（Ⅰ）得h（x）≤h（1），即，當(dāng)x＞0時，，∴l(xiāng)nx≤x-1，
ln（n!）=ln2+ln3+…+lnn≤1+2+…+（n-1）=，
綜上得≤ln（n!）≤，
即．（14分）
點評：本題考查函數(shù)極值的求法，求實數(shù)的取值范圍，證明不等式．考查數(shù)列、不等式知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．