Question

對正整數(shù)n，設(shè)曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為a_n，則數(shù)列{

an

n+1

}的前n項和S_n=

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意求出y′即為切線的斜率，把x=2代入求得對應的y值，寫出切線方程，求出x=0時y的值即可得到a_n的通項公式，即可得到數(shù)列{

an

n+1

}的通項公式，然后利用等比數(shù)列的求和公式得到s_n

解答：解：y′=-（n+2）2^n-1，
把x=2代入到曲線y=xⁿ（1-x）中得到y(tǒng)=-2ⁿ，
所以切線方程為y+2ⁿ=-（n+2）2^n-1（x-2）
令x=0，解得交點的縱坐標為a_n=（n+1）2ⁿ，
則數(shù)列b_n=

an

n+1

=2ⁿ，
所以數(shù)列{

an

n+1

}的前n項和S_n=

2(1-2n)

1-2

=2n+1 -2
故答案為2ⁿ⁺¹-2

點評：考查學生利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程的能力，以及利用等比數(shù)列的求和公式進行數(shù)列求和的能力．