Question

對正整數(shù)n，設(shè)曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為a_n，則數(shù)列{

an

n+1

}的前n項和的公式是

 

．

Answer 1

分析：欲求數(shù)列{

an

n+1

}的前n項和，必須求出在點（1，1）處的切線方程，須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率即得直線方程進而得到切線與y軸交點的縱坐標(biāo)．最后利用等比數(shù)列的求和公式計算，從而問題解決．

解答：解：y′=nx^n-1-（n+1）xⁿ，
曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線的斜率為k=n2^n-1-（n+1）2ⁿ
切點為（2，-2ⁿ），
所以切線方程為y+2ⁿ=k（x-2），
令x=0得a_n=（n+1）2ⁿ，
令b_n=

an

n+1

=2 n．
數(shù)列{

an

n+1

}的前n項和為2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2．
故答案為：2ⁿ⁺¹-2．

點評：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率，數(shù)列通項公式以及等比數(shù)列的前n項和的公式．解后反思：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率時，要首先判定所經(jīng)過的點為切點．否則容易出錯．