Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個頂點(diǎn)為A（0，），且離心率為．
（ I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ II）過點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓相交于不同兩點(diǎn)P、Q，點(diǎn)N在線段PQ上．設(shè)==λ，試求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），
因為它的一個頂點(diǎn)為A（0，），所以b²=2，由離心率等于，
得=，解得a²=8，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（ II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
①若直線l與y軸重合，則==λ?==λ，解得y₀=1，得λ=；
②若直線l與y軸不重合，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，
與橢圓方程聯(lián)立消去y，得（1+4k²）x²+16kx+8=0，
根據(jù)韋達(dá)定理得，x₁+x₂=-，x₁x₂=，（*）
由==λ，得，
整理得2x₁x₂=x₀（x₁+x₂），把上面的（*）式代入得，
又點(diǎn)N在直線y=kx+2上，所以，于是由圖象知1＜y₁＜，
-1，由1＜y₁＜，得＞+1，所以．
綜上所述，．
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為程（a＞b＞0），由題設(shè)條件求出b²和a²，由此可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），分兩種情況討論：①若直線l與y軸重合，此時λ易解得；②若直線l與y軸不重合，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立消去y得一元二次方程，由韋達(dá)定理及==λ可得，進(jìn)而可求出y₀值，結(jié)合圖象可得1＜y₁＜，再由λ與y₁的關(guān)系即可求得λ的取值范圍；
點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大．