Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cos2A+cosA=0．
（1）求∠A；
（2）若b=1，求a²+c²的最小值，并求此時(shí)△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）根據(jù)二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)題中的等式，可得2cos²A+cosA-1=0，結(jié)合0＜A＜π解出cosA的值，從而可得角A的大�。�
（2）由條件利用余弦定理求得a²+c²=2(c-

1

4

)2+

7

8

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a²+c² 的最小值為

7

8

，此時(shí)，a=

13

4

，△ABC的面積為

1

2

•bc•sinA，計(jì)算可得結(jié)果．

解答： 解：（1）△ABC中，由cos2A+cosA=0，可得得2cos²A+cosA-1=0，
解得cosA=-1，或cosA=

1

2

，
因?yàn)锳是三角形的內(nèi)角，0＜A＜π，所以A=

π

3

．
（2）若b=1，由余弦定理可得a²=1+c²-c，∴a²+c²=2c²-c+1=2(c-

1

4

)2+

7

8

，
故當(dāng)c=

1

4

時(shí)，a²+c² 的最小值為

7

8

，此時(shí)，a=

13

4

，△ABC的面積為

1

2

•bc•sinA=

3

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角的余弦公式、基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．