Question

如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE和AD的交點(diǎn)，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求證：AM⊥平面EBC；
（2）求異面直線EC與AB所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，再由線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，即可得證；
（2）分別取BC、AC、AE的中點(diǎn)F、H、G，連結(jié)HF、HG、FG，應(yīng)用中位線定理，即可得到∠GHF為異面直線EC與AB所成角或其補(bǔ)角，再由余弦定理，即可得到所求值．

解答： （1）證明：由正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，
面ABC∩面ACDE=AC，AC⊥BC，
則BC⊥面ACDE，
由AM?面ACDE，則AM⊥BC，
又正方形ACDE，則AM⊥EC，
則AM⊥平面EBC；
（2）解：分別取BC、AC、AE的中點(diǎn)F、H、G，連結(jié)HF、HG、FG，
則HG∥EC，HG=

1

2

EC，HF∥AB，HF=

1

2

AB，
即有∠GHF為異面直線EC與AB所成角或其補(bǔ)角，
令A(yù)C=1，則HF=

2

2

，GH=

2

2

，又在直角△GCF中CF=

1

2

，
GC=

1+ 1 4

=

5

2

，則GF=

6

2

，
則cos∠GHF=

1 2 + 1 2 - 3 2

2• 2 2 • 2 2

=-

1

2

．
故異面直線EC與AB所成角斜弦值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直和面面垂直的判定和性質(zhì)定理及應(yīng)用，考查異面直線所成角的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．