Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分別是棱AB、PC的中點，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．
（Ⅰ）求證：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；
（Ⅱ）若點Q在線段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C-PQ-D的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）①由已知得AD⊥平面APB，從而PB⊥AD，由此能證明平面PAD⊥平面PBC．
②取PB中點M，連結(jié)RM，SM，由已知推導出平面PAD∥平面SMR，由此能證明RS∥平面PAD．
（Ⅱ）由已知得AP=1，BP=

3

，PQ=

3

2

，AQ=

1

2

，BQ=

3

2

，以Q為原點，QP為x軸，QB為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-PQ-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）①證明：∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴AD⊥平面APB，
又PB?平面APB，
∴PB⊥AD，
∵PD⊥PB，AD∩PD=D，
∴PB⊥平面PAD，
∵PB?平面PBC，
∴平面PAD⊥平面PBC．
②證明：取PB中點M，連結(jié)RM，SM，
∵R、S分別是棱AB、PC的中點，AD∥BC，
∴SM∥CB∥AD，RM∥AP，
又AD∩AP=A，∴平面PAD∥平面SMR，
∵RS?平面SMR，∴RS∥平面PAD．

（Ⅱ）解：由已知得

AP2+1=PD2 BP2+4=PC2 AP2+BP2=4 5+PD2=PC2

，
解得AP=1，BP=

3

，PQ=

3

2

，AQ=

1

2

，BQ=

3

2

，
以Q為原點，QP為x軸，QB為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則Q（0，0，0），P（

3

2

，0，0），D（0，-

1

2

，1），C（0，

3

2

，2），
∴

QD

=(0，-

1

2

，1)，

QP

=(

3

2

，0，0)，

QC

=（0，

3

2

，2），
設平面PDQ的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • QD =- 1 2 y+z=0 n • QP = 3 2 x=0

，取y=2，得

n

=(0，2，1)，
設平面PCQ的法向量

m

=(a，b，c)，
則

m • QC = 3 2 b+2c=0 m • QP = 3 2 a=0

，取b=4，得

m

=（0，4，-3），
設二面角C-PQ-D的平面角為θ，
∴cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

8-3

5 ×5

|=

5

5

，
∴二面角C-PQ-D的余弦值為

5

5

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．