【題目】如圖，三棱錐中，，，.

（1）求證：；

（2）若二面角的大小為且時，求的中線與面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

(1) 取中點(diǎn),連,,證明平面即可.

(2) 由(1)在平面內(nèi)作,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解線面角的正弦值或直接利用向量的關(guān)系求解即可.

（1）證明：取中點(diǎn),連,,∵,,

∴,,平面,且,

∴平面,又平面,∴.

（2）由（1）知是二面角的平面角,

∴,又由平面知平面平面,

所以在平面內(nèi)作,則面,可建如圖坐標(biāo)系,

又易得,故在中由余弦定理可得,

于是可得各點(diǎn)坐標(biāo)為,,,,

∴,∴,

又平面的一個法向量為,

所以直線與面所成角的正弦值.

法二：由（1）知是二面角的平面角,∴.

作于,則由平面知平面,且,

又易得,故在中由余弦定理可得,∴.

又為中點(diǎn),所以到平面的距離.

因?yàn)?/span>,,,∴,

∴.

所以直線與面所成角的正弦值.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為，過其右焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，交y軸于E點(diǎn)．若，．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）試判斷是否是定值．若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．

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【題目】已知函數(shù)（， 為常數(shù)），函數(shù)（為自然對數(shù)的底）.

（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)；

（2）若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；

（2）若當(dāng)時，關(guān)于的方程有且只有一個實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.

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（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）若上恰有2個點(diǎn)到的距離等于，求的斜率.

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【題目】如圖，在多面體中，均垂直于平面，，，，.

（1）過的平面與平面垂直，請在圖中作出截此多面體所得的截面，并說明理由；

（2）若，，求多面體的體積.

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【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求的極值；

（2）證明：.

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【題目】已知動點(diǎn)M到定點(diǎn)F1（-2，0）和F2（2，0）的距離之和為．

（1）求動點(diǎn)M軌跡C的方程；

（2）設(shè)N（0，2），過點(diǎn)P（-1，-2）作直線l，交橢圓C于不同于N的A，B兩點(diǎn)，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，問k1+k2是否為定值？若是的求出這個值．

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【題目】過拋物線的一條弦的中點(diǎn)作平行于拋物線對稱軸的平行線（或與對稱軸重合），交拋物線于一點(diǎn)，稱以該點(diǎn)及弦的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為這條弦的阿基米德三角形（簡稱阿氏三角形）.

現(xiàn)有拋物線:，直線：（其中，，是常數(shù)，且），直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)弦的阿氏三角形是.

（1）指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）求的面積（用，，表示）；

（3）稱的阿氏為一階的；、的阿氏、為二階的；、、、的阿氏三角形為三階的；……，由此進(jìn)行下去，記所有的階阿氏三角形的面積之和為，探索與之間的關(guān)系，并求.

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