設(shè)曲線y＝＋bx2＋cx在點(diǎn)A(x，y)處的切線斜率為k(x)，且k(－1)＝0．對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式x≤k(x)≤(x2＋1)恒成立(a≠0)．

(1)求k(1)的值；

(2)求函數(shù)k(x)的表達(dá)式；

(3)求證：＞

答案：
解析：

　　解：(1)由不等式恒成立可得，

　　所以(1)＝1

　　(2)，由(1)＝1，k(－1)＝0

　　可得，解得

　　又因?yàn)椴坏仁?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3707/0019/214a4b285363940fad13e45cc9301cf0/C/Image237.gif" width=129 height=41>恒成立，則由恒成立得：

　　且

　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3707/0019/214a4b285363940fad13e45cc9301cf0/C/Image246.gif" width=64 HEIGHT=41>，即有，

　　即，即，

　　所以，

　　同理由恒成立，解得

　　所以

　　(3)證法一：

　　要證＞，即證＞

　　即證＞

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3707/0019/214a4b285363940fad13e45cc9301cf0/C/Image260.gif" width=254 height=45>，

　　所以

　　顯然成立，所以＞成立

　　證法二：(數(shù)學(xué)歸納法)

　　

　　1．當(dāng)時(shí)，左邊＝1，右邊＝，不等式成立；

　　2．假設(shè)時(shí)，不等式成立，

　　即＞成立，

　　則時(shí)，左邊＝

　　由得

　　

　　即時(shí)，不等式也成立，

　　綜上可得＞


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設(shè)函數(shù)y＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象與y軸交點(diǎn)為P點(diǎn)，且曲線在P點(diǎn)處的切線方程為12x－y－4＝0．若函數(shù)在x＝2處取得極值0，試確定函數(shù)的解析式．

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設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋5，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線與x軸平行．

(1)求實(shí)數(shù)c的值；

(2)判斷是否存在實(shí)數(shù)b，使得方程f(x)－b2x＝0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根．若存在，求b的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點(diǎn)A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，因?yàn)檫^點(diǎn)A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切線過點(diǎn)A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當(dāng)－6<m<2時(shí)，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

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設(shè)函數(shù)y＝f(x)＝ax3+bx2+cx+d的圖像與y軸的交點(diǎn)為P點(diǎn)，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為12x-y-4＝0．若函數(shù)在x＝2處取得極值0，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為


  1. A.
    (1，2)
  2. B.
    (-∞，1)
  3. C.
    (2，+∞)
  4. D.
    (-2，-1)

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