已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,1),且被兩平行直線l1;x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的線段之長(zhǎng)為5,求直線l的方程.
分析:法一如圖,若直線l的斜率不存在,直線l的斜率存在,利用點(diǎn)斜式方程,分別與l1、l2聯(lián)立,求得兩交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)(用k表示),再利用|AB|=5可求出k的值,從而求得l的方程.
法二:求出平行線之間的距離,結(jié)合|AB|=5,設(shè)直線l與直線l1的夾角為θ,求出直線l的傾斜角為0°或90°,然后得到直線方程.就是用l1、l2之間的距離及l(fā)與l1夾角的關(guān)系求解.
法三:設(shè)直線l1、l2與l分別相交于A(x1,y1),B(x2,y2),
則通過求出y1-y2,x1-x2的值確定直線l的斜率(或傾斜角),從而求得直線l的方程.
解答:解:解法一:若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=3,
此時(shí)與l
1、l
2的交點(diǎn)分別為A′(3,-4)或B′(3,-9),
截得的線段AB的長(zhǎng)|AB|=|-4+9|=5,符合題意.
若直線l的斜率存在,則設(shè)直線l的方程為y=k(x-3)+1.
解方程組
得
A(
,-
).
解方程組
得
B(
,-
).
由|AB|=5.
得(
-
)
2+(-
+
)
2=5
2.
解之,得k=0,直線方程為y=1.
綜上可知,所求l的方程為x=3或y=1.
解法二:由題意,直線l
1、l
2之間的距離為d=
=
,
且直線L被平行直線l
1、l
2所截得的線段AB的長(zhǎng)為5,
設(shè)直線l與直線l
1的夾角為θ,則sinθ=
=
,故θ=45°.
由直線l
1:x+y+1=0的傾斜角為135°,知直線l的傾斜角為0°或90°,
又由直線l過點(diǎn)P(3,1),故直線l的方程為:x=3或y=1.
解法三:設(shè)直線l與l
1、l
2分別相交A(x
1,y
1)、B(x
2,y
2),則x
1+y
1+1=0,x
2+y
2+6=0.
兩式相減,得(x
1-x
2)+(y
1-y
2)=5.①
又(x
1-x
2)
2+(y
1-y
2)
2=25.②
聯(lián)立①、②可得
或
由上可知,直線l的傾斜角分別為0°或90°.
故所求的直線方程為x=3或y=1.
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查直線與直線的位置關(guān)系,直線與直線所成的角,直線的點(diǎn)斜式方程,斜率是否存在是容易出錯(cuò)的地方,注意本題的三種方法.