Question

8．如圖，E、F是正方形ABCD的邊AB、BC的中點，將△ADE、△CDF、△BEF分別沿DE、DF、EF折起，使A、B、C三點重合于點A′．
（1）求證：A′D⊥EF；
（2）已知正方形ABCD的邊長為a，求三棱錐A′-DEF的底面DEF上的高h．

Answer 1

分析 （1）證明A′D⊥EF，只需證明A′D⊥平面A′EF，利用線面垂直的判定定理可以證明；
（2）通過求解直角三角形分別求出△A′EF與△DEF的面積，利用等體積轉化，即可求得A′-DEF的底面DEF上的高h．

解答 （1）證明：依題意知，折前AD⊥AE，CD⊥CF，
∴A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
∵A′E∩A′F=A′，∴A′D⊥平面A′EF，
又∵EF?平面A′EF，∴A′D⊥EF；
（2）解：依題意知，AE=CF=$\frac{1}{2}a$，∴A′E=A′F=$\frac{1}{2}a$，
在△BEF中，EF=$\sqrt{2}$BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$，
在△DEF中，取EF中點G，連接DG，則$DG=\sqrt{D{E}^{2}-E{G}^{2}}=\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}a）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{4}a）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}a$．
∴${S}_{△DEF}=\frac{1}{2}×EF×DG=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{3\sqrt{2}}{4}a$=$\frac{3}{8}{a}^{2}$，
${S}_{△A′EF}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a×\frac{1}{2}a=\frac{1}{8}{a}^{2}$，
由V_D-A′EF=V_A′-DEF，得$\frac{1}{3}×{S}_{A′EF}×A′D=\frac{1}{3}×{S}_{DEF}×h$，
則$\frac{1}{8}{a}^{2}×a=\frac{3}{8}{a}^{2}×h$，解得：h=$\frac{a}{3}$．

點評 本題考查線線垂直，考查線面垂直的判定和性質，考查三棱錐的體積，訓練了等積法的運用，是中檔題．