Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AB=AC=BC=AA₁，D，E分別為BC，BB₁的中點．
（1）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（2）求證CE⊥平面AC₁D；
（3）直線C₁A₁與平面AC₁D所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連接A₁C，交AC₁于N，連接DN，證明DN∥A₁B，即可證明A₁B∥平面AC₁D；
（2）根據(jù)BB₁⊥平面ABC，得到BB₁⊥AD，等腰△ABC中根據(jù)“三線合一”，得到AD⊥BC，從而證出AD⊥平面BB₁C₁C，可得AD⊥CE．正方形BB₁C₁C中，根據(jù)Rt△CBE≌Rt△C₁CD證出C₁D⊥CE，再利用線面垂直判定定理即可證出CE⊥平面AC₁D；
（3）求出A₁到平面AC₁D的距離，即可求出直線C₁A₁與平面AC₁D所成的角的正弦值．

解答： （1）證明：連接A₁C，交AC₁于N，連接DN，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
所以N為A₁C的中點，又D為BC中點．所以DN∥A₁B，
DN?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
所以A₁B∥平面AC₁D．
（2）證明：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴BB₁⊥AD，
∵△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C內(nèi)的相交直線，∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵CE?平面BB₁C₁C，∴AD⊥CE，
∵正方形BB₁C₁C中，D、E分別為BC、BB₁的中點，
∴Rt△CBE≌Rt△C₁CD，∠CC₁D=∠BCE，可得∠BCE+∠C₁DC=90°，得C₁D⊥CE，
∵AD、C₁D是平面AC₁D內(nèi)的相交直線，∴CE⊥平面AC₁D；
（3）解：設AB=AC=BC=AA₁=2，則△AC₁D中，AC₁=2

2

，C₁D=

5

，AD=

3

，
∴S△AC1D=

1

2

×

3

×

5

=

15

2

，
設A₁到平面AC₁D的距離為h，即B到平面AC₁D的距離為h，
∵S△C1DB=

1

2

×1×2=1，
∴

1

3

×

15

2

×h=

1

3

×1×

3

，
∴h=

5

2

，
∴直線C₁A₁與平面AC₁D所成的角的正弦值

5

4

．

點評：本題在特殊的正三棱柱中證明線面平行、線面垂直，并求直線與平面所成角．著重考查了空間平行、垂直位置關系的判斷與證明和直線與平面所成角的定義及求法等知識，屬于中檔題．