Question

通過正三棱錐的底面一邊且垂直于對(duì)棱作一截面，若此截面將對(duì)棱分成3：2兩部分，且底面的邊長(zhǎng)為4，求棱錐的全面積．

Answer 1

分析：畫出圖形，設(shè)截面BDC⊥VA，且VD：DA=3：2，由VA⊥BD，取AB的中點(diǎn)E，連接VE，推出VE⊥AB，利用三角形相似，以及勾股定理求出
VE就是斜高，然后求出側(cè)面積，再求全面積．

解答：解：設(shè)截面BDC⊥VA，且VD：DA=3：2，
由VA⊥BD，取AB的中點(diǎn)E，連接VE，則VE⊥AB，
∴Rt△VAE∽R(shí)t△BAD，
∴AD：AE=AB：VA，
即AB•AE=AD•VA．
∵VD：DA=3：2，
∴AD=

2

5

AV且AE=

1

2

AB，
得

1

2

AB2=

2

5

AV2，
∴AV²=20．在Rt△VEA中，VE²=AV²-AE²=16，
∴S側(cè)=3S△VAB=3×

1

2

×4×4=24
又S底=

1

2

×4×4sin60°=4

3

，
∴S全=24+4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積，考查計(jì)算能力，邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題．