Question

如圖，△ABO是以AB為斜邊的等腰直角三角形，OD⊥平面ABO，BC∥OD，且OD=2BC=2OA=2，E是AD中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：CE∥平面ABO；
（Ⅱ）求三棱錐E-ABC的體積V_E-ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取OA的中點(diǎn)F，連接BF，EF，先證明出四邊形EFBC是平行四邊形，進(jìn)而推斷出EC∥FB，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證明出EC∥平面ABO．
（Ⅱ）作AH⊥BF于H，先證明出平面EFBC⊥平面ABO，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)推斷出AH⊥平面EFBC，分別求得OD，BC和OF，最后求得體積

解答： 解：（Ⅰ）如圖所示，取OA的中點(diǎn)F，連接BF，EF，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴EF∥OD，且EF=

1

2

OD，
又BC∥OD，且OD=2BC=2OA=2，
∴EF∥BC，且EF=BC，
∴四邊形EFBC是平行四邊形，
∴EC∥FB，又E?平面ABO，F(xiàn)B?平面ABO，
∴EC∥平面ABO．
（Ⅱ）如圖，作AH⊥BF于H，由（Ⅰ）知，BC⊥平面ABO，BC?平面EFBC，
∴平面EFBC⊥平面ABO，
∴AH⊥平面EFBC，
∵OD=2BC=2OA=2，
∴BC=1．
OF=AF=

1

2

，CE=BF=

1+ 1 4

=

5

2

，由

AH

AF

=

OB

BF

，得AH=

5

5

．
∴V_E-ABC=

1

3

×

1

2

×1×

5

2

×

5

5

=

1

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線(xiàn)面平行的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生空間觀察和思維能力．