Question

7．某農(nóng)場規(guī)劃將果樹種在正方形的場地內(nèi)．為了保護果樹不被風(fēng)吹，決定在果樹的周圍種松樹． 在如圖里，你可以看到規(guī)劃種植果樹的列數(shù)（n），果樹數(shù)量及松樹數(shù)量的規(guī)律：
（1）按此規(guī)律，n=5時果樹數(shù)量及松樹數(shù)量分別為多少；并寫出果樹數(shù)量a_n，及松樹數(shù)量b_n關(guān)于n的表達式．
（2）定義：f（n+1）-f（n）（n∈N^*）為f（n）增加的速度；現(xiàn)農(nóng)場想擴大種植面積，問：哪種樹增加的速度會更快？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知，n=1時，果樹1棵，松樹9-1=8棵，n=2時，果樹4棵，松樹25-9=16棵，從而類比可得n=5時，果樹25棵，松樹121-81=40棵；從而可得${a_n}={n^2}$，b_n=8n；
（2）化簡${a_{n+1}}-{a_n}={（{n+1}）^2}-{n^2}=2n+1$，b_n+1-b_n=8（n+1）-8n=8，從而判斷．

解答 解：（1）由題意知，
n=1時，果樹1棵，松樹9-1=8棵，
n=2時，果樹4棵，松樹25-9=16棵，
n=3時，果樹9棵，松樹49-25=24棵，
n=4時，果樹16棵，松樹81-49=32棵，
n=5時，果樹25棵，松樹121-81=40棵；
故${a_n}={n^2}$，b_n=8n；
（2）${a_{n+1}}-{a_n}={（{n+1}）^2}-{n^2}=2n+1$，
b_n+1-b_n=8（n+1）-8n=8，
當n≤3時，2n+1＜8，松樹增加的速度快；
當n≥4時，2n+1＞8，果樹增加的速度快．

點評 本題考查了數(shù)列的應(yīng)用及數(shù)列的增長速度的判斷，屬于中檔題．