Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，且PA=BC=2AB=2．
（1）求證：CD⊥PA
（2）線段PA是否存在一點(diǎn)E，使得EF∥平面PCD？若有，請(qǐng)找出具體位置，并加以證明，若無(wú)，請(qǐng)分析說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)PA⊥底面ABCD可以推知CD⊥PA；
（2）當(dāng)E是PA的中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面PCD．如圖，取PD的中點(diǎn)G，連接EG、CG，構(gòu)建平行四邊形EFCG，結(jié)合平行四邊形的對(duì)邊相互平行的性質(zhì)和線面平行的性質(zhì)證得結(jié)論EF∥平面PCD．

解答 證明：（1）又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，
CD?底面ABCD，所以CD⊥PA；
解：（2）當(dāng)E是PA的中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面PCD，
取PD的中點(diǎn)G，連接EG、CG，
又因?yàn)镋、F分別是PA、BC的中點(diǎn)，底面ABCD為矩形，
所以EG∥AD∥FC且EG∥$\frac{1}{2}$AD∥FC，
所以四邊形EFCG是平行四邊形，
所以EF∥GC．
又因?yàn)镋F?平面PCD，GC?平面PCD，
所以EF∥平面PCD．

點(diǎn)評(píng) 本題以底面為長(zhǎng)方形、一條側(cè)棱垂直于底的四棱錐為載體，通過(guò)證明線面平行、垂直，著重考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．