Question

19．已知向量，$\overrightarrow{a}$=（cosx，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}sinx$，cos2x），x∈R設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（X）的單調(diào)增區(qū)間
（Ⅲ）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平面向量數(shù)量積求出函數(shù)f（x），化為正弦型函數(shù)，求出它的最小正周期；
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的最大最小值．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}sinx$，cos2x），
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
=$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（Ⅱ）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（Ⅲ）x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]；
∴x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)取得最小值-$\frac{1}{2}$；
x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)取得最大值1．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，是中檔題．