已知函數(shù)f(x)=x|x-a|+2x-3
(1)當(dāng)a=4,2≤x≤5時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值和最小值;
(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)≤2x-2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解:(1)當(dāng)a=4時(shí),f(x)=x|x-4|+2x-3;
①當(dāng)2≤x<4時(shí),f(x)=x(4-x)+2x-3=-x2+6x-3,
當(dāng)x=2時(shí),f(x)min=5;當(dāng)x=3時(shí),f(x)max=6 (2分)
②當(dāng)4≤x≤5時(shí),f(x)=x(x-4)+2x-3=x2-2x-3=(x-1)2-4,
當(dāng)x=4時(shí),f(x)min=5;當(dāng)x=5時(shí),f(x)max=12 (4分)
綜上可知,函數(shù)f(x)的最大值為12,最小值為5. (6分)
(2)若x≥a,原不等式化為f(x)=x2-ax≤1,即a≥x-在x∈[1,2]上恒成立,
∴a≥(x-max,即a≥. (8分)
若x<a,原不等式化為f(x)=-x2+ax≤1,即a≤x+在x∈[1,2]上恒成立,
∴a≤(x-min,即a≤2. (10分)
綜上可知,a的取值范圍為≤a≤2. (12分)
∴f(1)<m<f(0),即e<m<3.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(e,3)(12分)
分析:(1)當(dāng)a=4時(shí),f(x)=x|x-4|+2x-3;再對(duì)x的取值進(jìn)行分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào):①當(dāng)2≤x<4時(shí),②當(dāng)4≤x≤5時(shí),分別求出在各自區(qū)間上的最值,最后綜合得到函數(shù)f(x)的最值.
(2)題目中條件:“x∈[1,2]時(shí),f(x)≤2x-2恒成立”轉(zhuǎn)化為f(x)=x2-ax≤1恒成立,下面只要利用分離參數(shù)法求出函數(shù)x-或x+在給定區(qū)間上的最值即得.
點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的恒成立問題,屬于中檔題,求不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍,是經(jīng)久不衰的話題,也是高考的熱點(diǎn),它可以綜合地考查中學(xué)數(shù)學(xué)思想與方法,體現(xiàn)知識(shí)的交匯.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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