Question

【題目】已知函數，.

（1）當 時，求函數圖象在點處的切線方程；

（2）當時，討論函數的單調性；

（3）是否存在實數，對任意，且有恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當， 在上單調遞增；②當，時， 在，上單調遞增，在上單調遞減；③當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；（3）．

【解析】分析：（1）求出函數在的導數即可得切線方程；

（2），就分類討論即可；

（3）不妨設，則原不等式可以化為，故利用為增函數可得的取值范圍．

詳解：（1）當時，，，

所以所求的切線方程為，即．

（2），

①當，即時，，在上單調遞增．

②當，即時，

因為或時，；

當時，，

在和上單調遞增，在上單調遞減；

③當，即時，

因為或時，；

當時，，

在，上單調遞增，在上單調遞減．

（3）假設存在這樣的實數，滿足條件，

不妨設，由知，

令，則函數在上單調遞增．

所以，即在上恒成立，

所以，故存在這樣的實，滿足題意，其取值范圍為．