【題目】已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)均在第一象限），且直線的斜率成等比數(shù)列，證明：直線的斜率為定值.

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)橢圓的離心率和所過的點(diǎn)得到關(guān)于的方程組，解得后可得橢圓的方程．（2）由題意設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立后消元可得二次方程，根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得直線的斜率，再根據(jù)題意可得，根據(jù)此式可求得，為定值．

試題解析：

（1）由題意可得，解得．

故橢圓的方程為．

（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，

由，消去整理得，

∵直線與橢圓交于兩點(diǎn)，

∴．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

則，

∴．

∵直線的斜率成等比數(shù)列，

∴，

整理得，

∴，

又，所以，

結(jié)合圖象可知，故直線的斜率為定值．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, ,平面底面, 為中點(diǎn), 是棱上的點(diǎn), .

（Ⅰ）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn),求證: 平面;

（Ⅱ）求證:平面平面;

（Ⅲ）若二面角為,設(shè),試確定的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，求的最小值.

（Ⅱ）若在區(qū)間上有兩個極值點(diǎn)，

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)若，求函數(shù)的極值，并指出是極大值還是極小值；

(2)若，求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，且分別為線段的中點(diǎn)，沿把折起，使，得到如下的立體圖形.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2017年10月18日至10月24日，中國共產(chǎn)黨第十九次全國代表大會簡稱黨的“十九大”在北京召開一段時間后，某單位就“十九大”精神的領(lǐng)會程度隨機(jī)抽取100名員工進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查問卷共有20個問題，每個問題5分，調(diào)查結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)這100名員工的成績都在內(nèi)，按成績分成5組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知甲、乙、丙分別在第3，4，5組，現(xiàn)在用分層抽樣的方法在第3，4，5組共選取6人對“十九大”精神作深入學(xué)習(xí)．

求這100人的平均得分同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表；

求第3，4，5組分別選取的作深入學(xué)習(xí)的人數(shù)；

若甲、乙、丙都被選取對“十九大”精神作深入學(xué)習(xí)，之后要從這6人隨機(jī)選取2人再全面考查他們對“十九大”精神的領(lǐng)會程度，求甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某車間有5名工人其中初級工2人，中級工2人，高級工1人現(xiàn)從這5名工人中隨機(jī)抽取2名．

Ⅰ求被抽取的2名工人都是初級工的概率；

Ⅱ求被抽取的2名工人中沒有中級工的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】省環(huán)保廳對、、三個城市同時進(jìn)行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測，測得三個城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個，三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個數(shù)如下表所示：

城

城

城

優(yōu)（個）

28

良（個）

32

30

已知在這180個數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個，恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.

（1）現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法，從上述180個數(shù)據(jù)中抽取30個進(jìn)行后續(xù)分析，求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個數(shù)；

（2）已知， ，求在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)， 為橢圓:上異于點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：直線、的斜率之積為-；

（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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