Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函數g（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數y=g（x）的圖象在點P（-1，g（-1））處的切線方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2對于任意x＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）g′（x）=3x′+2ax-1，由題意g（x）在x=1處取得極值，
將x=1代入方程3x²+2ax-1=0，得a=-1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x²-2x-1，
g（x）=x³-x²-x+2，g（-1）=1．
∴g′（-1）=4，
∴點P（-1，1）處的切線斜率k=g′（-1）=4，
函數y=g（x）的圖象在點P（-1，1）處的切線方程為：
y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．…（8分）
（Ⅲ）2f（x）≤g′（x）+2．
即2xlnx≤3x²+2ax+1對x∈（0，+∞）上恒成立．
可得a≥lnx-對x∈（0，+∞）上恒成立．
設h（x）=lnx-x-，則=-．
令h′（x）=0，得x=1，x=-（舍）．
當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0．
∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，∴a≥-2
∴a的取值范圍是[-2，+∞）．…（13分）
分析：（Ⅰ）g′（x）=3x′+2ax-1，由題意g（x）在x=1處取得極值，由此能求出a的值．
（Ⅱ）由g′（x）=3x²-2x-1，知g（x）=x³-x²-x+2，g（-1）=1．故點P（-1，1）處的切線斜率k=g′（-1）=4，由此能求出函數y=g（x）的圖象在點P（-1，1）處的切線方程．
（Ⅲ）2f（x）≤g′（x）+2．即2xlnx≤3x²+2ax+1對x∈（0，+∞）上恒成立．由此能求出實數a的取值范圍．
點評：本題考查實數的求法，考查切線方程的求法，考查實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的靈活運用．