Question

命題P：?x∈（1，+∞），m≤x+

4

x-1

命題q：拋物線x²=4y與直線y=x+m沒有公共點．
（Ⅰ）寫出命題P的否定；
（Ⅱ）如果命題P或q為真命題，P且q為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（Ⅰ）直接寫出命題p的否定即可；
（Ⅱ）先求出關于命題P，q的m的范圍，通過討論p真q假或p假q真，得到不等式組，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）命題p的否定是：?x₀∈（1，+∞），m＞x+

4

x-1

，
（Ⅱ）若命題P：?x∈（1，+∞），m≤x+

4

x-1

成立，
令f（x）=x+

4

x-1

=x-1+

4

x-1

+1≥2

(x-1)• 4 x-1

+1=5，當且僅當x=3時“=”成立，
∴命題P：m＞5，￢P：m≤5，
若命題q：拋物線x²=4y與直線y=x+m沒有公共點成立，
由

x2=4y y=x+m

得：x²-4x-4m=0，△=16+16m＜0，解得：m＜-1，
∴命題q：m＜-1，￢q：m≥-1，
如果命題P或q為真命題，P且q為假命題，
則p真q假或p假q真，
若p真q假，則

m＞5 m≥-1

，∴m＞5，
若p假q真，則

m≤5 m＜-1

，∴m＜-1，
∴m＞5或m＜-1．

點評：本題考查了命題的否定，考查了復合命題的真假問題，考查了函數恒成立問題，是一道中檔題．