Question

（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，，的中點(diǎn)，，．
（1）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面；
（2）在內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使平面，若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)M，并求FM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

證明：（1）見(jiàn)解析；（2）。

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面平行的判定，直線(xiàn)與平面垂直的判定，其中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將線(xiàn)面平行及線(xiàn)面垂直問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．本題綜合較強(qiáng)，難度較大．
（I）連接OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，分別求了各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，求出直線(xiàn)FG的方向向量和平面BOE的法向量，判斷兩個(gè)向量的關(guān)系，即可得到FG∥平面BOE；
（II）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₀，y₀，0），則我們易求出直線(xiàn)FM的方向向量，由FM⊥平面BOE求出滿(mǎn)足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)，并與△ABO內(nèi)部表示的平面區(qū)域?qū)��?yīng)的約束條件進(jìn)行比照，即可得到答案．
證明：（1）取PE中點(diǎn)H，連結(jié)FH，GH，
∵ F，G分別為PB，OC中點(diǎn)，∴FH//BE，GH//EO，
∵，， ，
∴，∵，∴。  …………5分
（2）∵是以為斜邊的等腰直角三角形，且O為AC中點(diǎn)，∴，
又∵平面平面， ，，
∴。
，所以，
∵，∴，
，連結(jié)FM，因?yàn)辄c(diǎn)F為PB中點(diǎn)，
則，進(jìn)而，。
                                                 …………12分