設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+
3
4
在x=0處取得極值,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線垂直于直線2x+4y-9=0.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求曲線y=f(x)和直線2x+4y-9=0所圍成的封閉圖形的面積;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)=
ex
f(x)
,若方程g(x)=m有三個不相等的實(shí)根,求m的取值范圍.
分析:(Ⅰ)因為”函數(shù)在x=0處取得極值“,則有f (0)=0,再由“曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線與直線2x+4y-9=0相互垂直”,
則有f (1)=2,從而求解;
(Ⅱ)利用微積分基本定理來求曲線y=f(x)和直線2x+4y-9=0所圍成的封閉圖形的面積;
(Ⅲ)由(Ⅰ)可得到:g(x)=
ex
x2+
3
4
,令g (x)=0,有x2-2x+
3
4
=0,
則由其兩根來構(gòu)建單調(diào)區(qū)間求出極值,只需使m大于極小值且小于極大值即可.
解答:解:(Ⅰ)因f(x)=ax2+bx+
3
4
,故f′(x)=2ax+b
又f(x)在x=0處取得極限值,故f (0)=0,從而b=0
由曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線與直線2x+4y-9=0相互垂直可知該切線斜率為2,
f (1)=2,有2a=2,從而a=1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x2+
3
4
,
聯(lián)立直線與曲線方程得到x=-
3
2
或x=1
故曲線y=f(x)和直線2x+4y-9=0所圍成的封閉圖形的面積為
S=
1
-
3
2
(-
1
2
x+
9
4
)-(x2+
3
4
)dx
=
1
-
3
2
(-x2-
1
2
x+
3
2
)dx

=(-
1
3
x3-
1
4
x2+
3
2
x)
|
1
-
3
2
=
125
48
;
(Ⅲ)g (x)=
ex•(x2+
3
4
)-2x•ex
(x2+
3
4
)2
=
ex•(x2-2x+
3
4
)
(x2+
3
4
)
2

g (x)=0,得到x1=
1
2
,x2=
3
2

根據(jù)x1,x2列表,得到函數(shù)的極值和單調(diào)性
x (-∞,
1
2
)
1
2
(
1
2
,
3
2
)
3
2
(
3
2
,+∞)
f  (x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
∴函數(shù)g(x)的極大值為 g(
1
2
)=e 
1
2
,函數(shù)g(x)的極小值為g(
3
2
)=
1
3
e 
3
2
 
1
3
e 
3
2
<m<e 
1
2
點(diǎn)評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)的極值及函數(shù)的單調(diào)性.綜合性較強(qiáng),充分考查了函數(shù)方程不等式三者的內(nèi)在聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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xx-1
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12
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-1
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x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
sin(π+x)dx,a為如圖所示的程序框圖中輸出的結(jié)果,則f(x)的展開式中常數(shù)項是( 。
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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