Question

4．求函數(shù)f（x）=（tan3x-tanx）（sin2x-sin4x） 的值域．

Answer 1

分析 利用二倍角，三倍角，四倍角公式，化簡函數(shù)的解析式為f（x）=$\frac{4si{n}^{4}x-4si{n}^{2}x}{1-4{sin}^{2}x}$，令t=sin²x，則t∈[0，$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，1]，y=f（x）=$\frac{4{t}^{2}-4t}{1-4t}$，利用導數(shù)法，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可得函數(shù)的值域．

解答 解：∵f（x）=（tan3x-tanx）（sin2x-sin4x）
=（$\frac{3tanx-{tan}^{3}x}{1-3{tan}^{2}x}$-tanx）[2sinxcosx+4（cosx•sinx•（2sin²x-1）]
=$\frac{2tanx+2{tan}^{3}x}{1-3{tan}^{2}x}$•（2sin³xcosx-2sinxcosx）
=$\frac{2sinx（{cos}^{2}x{+sin}^{2}x）}{cosx（{cos}^{2}x-3{sin}^{2}x）}$•（2sin³xcosx-2sinxcosx）
=$\frac{2sinx}{cosx（{cos}^{2}x-3{sin}^{2}x）}$•（2sin³xcosx-2sinxcosx）
=$\frac{4si{n}^{4}x-4si{n}^{2}x}{{cos}^{2}x-3{sin}^{2}x}$
=$\frac{4si{n}^{4}x-4si{n}^{2}x}{1-4{sin}^{2}x}$
令t=sin²x，則t∈[0，$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，1]，y=f（x）=$\frac{4{t}^{2}-4t}{1-4t}$，
∵y′=$\frac{-16{t}^{2}+8t-4}{（1-4t）^{2}}$＜0在t∈[0，$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，1]時，恒成立，
故y=$\frac{4{t}^{2}-4t}{1-4t}$在[0，$\frac{1}{4}$）和（$\frac{1}{4}$，1]上均為減函數(shù)，
又由當t=0和t=1函數(shù)值均為0，
故t∈[0，$\frac{1}{4}$）時，y∈（-∞，0]，
t∈（$\frac{1}{4}$，1]時，y∈[0，+∞），
故函數(shù)的值域為R．

點評 本題考查的知識點是二倍角，三倍角，四倍角公式，換元法，本題轉化困難，運算量大，屬于難題．