Question

設命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定義域為R；命題q：不等式3^x-9^x＜a對一切正實數(shù)都成立，如果命題p，q中至少有一個真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定義域為R，對a分類討論：當a≤0時，不滿足條件，應舍去；當a＞0時，由于ax²-x+

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a＞0恒成立，可得△＜0．對于命題q：不等式3^x-9^x＜a對一切正實數(shù)都成立，可得a＞（3^x-9^x）_max．利用指數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．由于命題p，q中至少有一個真命題，求出上面的交集即可．

解答： 解：命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定義域為R，
當a≤0時，不滿足條件，應舍去；當a＞0時，∵ax²-x+

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a＞0恒成立，∴△＜0，∴1-a²＜0，解得a＞1或a＜-1．綜上可得：a的取值范圍是a＞1或a＜-1．
命題q：不等式3^x-9^x＜a對一切正實數(shù)都成立，∴a＞（3^x-9^x）_max．
令f（x）=3^x-9^x=-(3x-

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2

)2+

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≤

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．
∴a＞

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．
∵命題p，q中至少有一個真命題，
∴a的取值范圍是a＞1或a＜-1或a＞

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．
因此實數(shù)a的取值范圍是a＞

1

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或a＜-1．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉化方法、復合命題的真假判定方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．