Question

PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75毫克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．從某自然保護(hù)區(qū)2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測值數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如表所示：

PM2.5日均值 （微克/立方米）	[25，35]	（35，45]	（45，55]	（55，65]	（65，75]	（75，85]
頻數(shù)	3	1	1	1	1	3

（1）從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取3天，求恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率；
（2）從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列；
（3）以這10天的PM2.5日均值來估計(jì)一年的空氣質(zhì)量狀況，則一年（按366天算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級．（精確到整數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：概率的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由表格可知：這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，只有3天達(dá)到一級，設(shè)“達(dá)到一級”為事件A，若隨機(jī)抽取3天，恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率，利用二項(xiàng)分布即可得．
（2）利用“超幾何分布”即可得出；
（3）由表格可知：這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，只有3天達(dá)到一級，只有4天達(dá)到二級，因此這10天空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級的概率，利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（1）由表格可知：這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，只有3天達(dá)到一級．
∴隨機(jī)抽取3天，恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率P=

C 1 3 C 2 7

C 3 10

=

21

40

．
（2）由題意可得ξ=0，1，2，3．
則P（ξ=3）=

C 3 3

C 3 10

=

1

120

，P（ξ=2）=

C 2 3 C 1 7

C 3 10

=

7

40

，P（ξ=1）=

C 1 3 C 2 7

C 3 10

=

21

40

，P（ξ=0）=

C 3 7

C 3 10

=

7

24

．
所以其分布列為：

ξ	0	1	2	3
P（ξ）	7 24	21 40	7 40	1 120

（3）一年（按366天算）中空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級的概率為P=0.7，
一年（按366天算）中空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級的天數(shù)為η，則η～B（366，0.7），
∴Eη=366×0.7=256.2≈256，
∴一年（按366天算）中平均有256天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級．

點(diǎn)評：本題考查了二項(xiàng)分布、“超幾何分布”及其分布列等基礎(chǔ)知識與基本技能，屬于中檔題．