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5.在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,半圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ,θ∈[0,\frac{π}{2}].
(I)求C的參數(shù)方程;
(II)若半圓C與圓D:(x-5)2+(y-\sqrt{3}2=m(m是常數(shù),m>0)相切.試求切點的直角坐標.

分析 (1)利用\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}{=x}^{2}{+y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.即可得出直角坐標方程,利用cos2t+sin2t=1進而得出參數(shù)方程;(2)結(jié)合圖象和圓的位置關(guān)系求出切點的坐標即可.

解答 解:(1)由半圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ,θ∈[0,\frac{π}{2}],即ρ2=4ρcosθ,
可得C的普通方程為(x-2)2+y2=4(0≤y≤2).
可得C的參數(shù)方程為 \left\{\begin{array}{l}{x=2(1+cost)}\\{y=2sint}\end{array}\right.(t為參數(shù),0≤t≤π).
(2)如圖示:

連接圓心AB,則兩圓切與P,設(shè)P(x,y),
在RT△ABC中,AB=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}
\frac{y}{\sqrt{3}}=\frac{2}{2\sqrt{3}},解得y=1,
∴AD=\sqrt{3},則x=2+\sqrt{3},
∴P(2+\sqrt{3},1).

點評 本題考查了把極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、圓與圓的位置關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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