Question

已知△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

（1）求數(shù)量積，

OA

•

OB

，

OB

•

OC

，

OC

•

OA

；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算對(duì)所求的式子移到右面一項(xiàng)后兩邊同時(shí)平方可求．
（2）由（1）可知OA⊥OB得然后以O(shè)為原點(diǎn)，

OA

，

OB

為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出C的坐標(biāo)，表示出

OA

，

OB

，

OC

進(jìn)而可求出C的坐標(biāo)，最后根據(jù)S=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC可求出答案．

解答：解：（1）∵3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

，且外接圓的半徑r=1，
∴(3

OA

+4

OB

)2=(-5

OC

)2=25．
∴9+16+24

OA

•

OB

=25，
∴

OA

•

OB

=0
同理可得，

OB

•

OC

=-

4

5

，

OA

•

OC

=-

3

5

．
（2）設(shè)C（m，n）則3（1，0）+4（0，1）+5（m，n）=0．
m=-

3

5

，n=-

4

5

S=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC=

6

5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角形的面積公式．三角函數(shù)和向量的綜合題是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，要給予重視．