Question

9．如圖，在菱形ABCD中，M為AC與BD的交點，∠BAD=$\frac{π}{3}$，AB=3，將△CBD沿BD折起到△C₁BD的位置，若點A，B，D，C₁都在球O的球面上，且球O的表面積為16π，則直線C₁M與平面ABD所成角的正弦值為$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 求出球半徑為，根據(jù)圖形找出直線C₁M與平面ABD所成角，解三角形即可．

解答 解：如圖所示，設(shè)O為球心，E、F分別為△ABD、△C₁BD的外接圓圓心，
則有OE⊥面ABD，OF⊥面C₁BD，
∵菱形ABCD中，∠BAD=$\frac{π}{3}$，AB=3
∴△ABD、△C₁BD為等邊△，故E、F分別為△ABD、△C₁BD的中心．
∵球O的表面積為16π，∴球半徑為2．
在直角△AOM中，OA=2，AE=$\frac{2}{3}AM=\sqrt{3}$，⇒QE=1．
tan∠OME=$\frac{OE}{EM}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∵C1M⊥DB，AM⊥DB，∴DB⊥面AMC₁，
∴∠C₁MA（或其補(bǔ)角）就是直線C₁M與平面ABD所成角．
∠C₁MA=2∠OME，tan∠C₁MA=tan（2∠OME）=$\frac{2×\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{4}{3}}=-4\sqrt{3}$，
sin∠C₁MA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
直線C₁M與平面ABD所成角的正弦值為$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

點評 本題考查了棱錐與外接球的關(guān)系，找出線面角是解題關(guān)鍵．屬于中檔題．