Question

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，使得對(duì)任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．
（1）函數(shù)f（x）=x是否屬于M？說明理由．
（2）證明函數(shù)f（x）=sinπx∈M．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將f（x）=x代入定義（x+T）=T f（x）驗(yàn)證，即可知函數(shù)f（x）=x不屬于集合M；
（2）若函數(shù)f（x）=sinπx∈M，依據(jù)定義應(yīng)該有sin（πx+πT）=Tsinπx成立，對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，將T=-1代入即可得到證明．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x，
∴對(duì)于非零常數(shù)T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，
∵集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，使得對(duì)任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
而對(duì)任意x∈R，x+T=Tx，不能恒成立，
∴不滿足上述性質(zhì)，
∴f（x）=x∉M；
（2）令T=-1，則sin（πx-π）=-sin（π-πx）=-sinπx．
∴sin（πx+πT）=Tsinπx成立，
∴函數(shù)f（x）=sinπx對(duì)任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
即sin（πx+πT）=Tsinπx．
∴函數(shù)f（x）=sinπx∈M．

點(diǎn)評(píng)：考查新定義下問題的證明與求解，此類題的特點(diǎn)是探究時(shí)只能以新定義的規(guī)則為依據(jù)，不能引入熟悉的算法，這是做此類題時(shí)要注意的．