Question

如圖，正方形ABCD邊長為2，內(nèi)切圓為⊙O，點P是⊙O上任意一點．
（1）求的值；
（2）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量減法的運算分別表示，、等代入式子，利用進(jìn)行求解；
（2）以圓心O為原點相互垂直的兩條直徑為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，設(shè)出P的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)表示求出，由數(shù)量積坐標(biāo)運算求出，根據(jù)圓的方程，求出結(jié)果為零，即證出垂直關(guān)系．
解答：（1）解：設(shè)正方形內(nèi)切圓半徑為r，則r=1．
∵
=，
又∵，
∴．
（2）證明：以圓心O為原點相互垂直的兩條直徑為坐標(biāo)軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，
∴A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），D（1，-1），P（x，y），
且x²+y²=1．
∴，
，
∴，
∴．
∴．
點評：本題的考點是向量在幾何上的應(yīng)用，根據(jù)圖形的特點利用向量的線性運算進(jìn)行化簡求值，證明垂直時常用數(shù)量積的值為零來證明，建立坐標(biāo)系時利用圖形中的垂直關(guān)系或?qū)ΨQ性．