Question

7．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）（p＞0），直線l經(jīng)過(guò)曲線C外一點(diǎn)A（-2，-4）且傾斜角為$\frac{π}{4}$．
（1）求曲線C的普通方程和直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C分別交于M₁，M₂，若|AM₁|，|M₁M₂|，|AM₂|成等比數(shù)列，求p的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）（p＞0），消去t可得普通方程．利用點(diǎn)斜式可得直線l的參數(shù)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程可得：t²-$（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}p）t$+8p+32=0，可得t₁+t₂=$8\sqrt{2}+2\sqrt{2}$p，t₁t₂=8p+32.0＜t₁＜t₂．不妨設(shè)|AM₁|=t₁，|M₁M₂|=t₂-t₁，|AM₂|=t₂，則|M₁M₂|=t₂-t₁=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．由于|AM₁|，|M₁M₂|，|AM₂|成等比數(shù)列，可得$|{M}_{1}{M}_{2}{|}^{2}$=|AM₁|×|AM₂|．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）（p＞0），消去t可得：y²=2px．
直線l經(jīng)過(guò)曲線C外一點(diǎn)A（-2，-4）且傾斜角為$\frac{π}{4}$，可得參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程可得：t²-$（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}p）t$+8p+32=0，
∴t₁+t₂=$8\sqrt{2}+2\sqrt{2}$p，t₁t₂=8p+32.0＜t₁＜t₂．
不妨設(shè)|AM₁|=t₁，|M₁M₂|=t₂-t₁，|AM₂|=t₂，
則|M₁M₂|=t₂-t₁=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}p）^{2}-4（8p+32）}$=$\sqrt{8{p}^{2}+32p}$．
∵|AM₁|，|M₁M₂|，|AM₂|成等比數(shù)列，
∴$|{M}_{1}{M}_{2}{|}^{2}$=|AM₁|×|AM₂|，
∴8p²+32p=8p+32，
化為p²+3p-4=0，p＞0．
解得p=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線與拋物線相切交問(wèn)題、參數(shù)方程的應(yīng)用、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．