Question

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+），若在（0，+）上為增函數(shù)，則稱(chēng)為“一階比增函數(shù)”；若在（0，+）上為增函數(shù)，則稱(chēng)為”二階比增函數(shù)”。我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為1，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為2。

（1）已知函數(shù)，若∈1，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明你的結(jié)論；

（2）已知0<a<b<c，∈1且的部分函數(shù)值由下表給出：

			t	4

求證：；

（3）定義集合，且存在常數(shù)k，使得任取x∈（0，+），<k}，請(qǐng)問(wèn)：是否存在常數(shù)M，使得任意的∈，任意的x∈（0，+），有<M成立?若存在，求出M的最小值；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）≤0；（2）見(jiàn)解析；（3）0

【解析】

（1）由∈，即在（0，+）是增函數(shù)，利用單調(diào)性的定義求解即可；

（2）由f（x）∈Ω1，取0＜x1＜x2＜x1+x2，可得．由表格可知：f（a）＝d，f（b）＝d，f（c）＝t，f（a+b+c）＝4，0＜a＜b＜c＜a+b+c，利用“一階比增函數(shù)”可得，再利用不等式的性質(zhì)即可得出；

（3）根據(jù)“二階比增函數(shù)”先證明f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立．再證明f（x）＝0在（0，+∞）上無(wú)解．即可得出．

（1）解：因?yàn)?/span>∈，即在（0，+）是增函數(shù)，

當(dāng)≤0，函數(shù)顯然為增函數(shù)；

當(dāng)>0，

任取，則

.

，

當(dāng)≤0，，, 函數(shù)為增函數(shù)

當(dāng)>0，

當(dāng)時(shí)，，，，

所以，即，所以在上為減函數(shù).

當(dāng)時(shí)，，，，

所以，即，所以在上為增函數(shù).

所以≤0，

（2）因?yàn)?/span>∈，且0<a<b<c<a+b+c，

所以，所以，

同理可證，，

三式相加得，所以。

因?yàn)?/span>，所以，而0<a<b，所以d<0，所以。

（3）因?yàn)榧��?/span>，且存在常數(shù)k，使得任取x∈（0，+），<k}，

所以 ∈，存在常數(shù)k，使得<k對(duì)x∈（0，+）成立。

我們先證明≤0對(duì)x∈（0，+）成立：假設(shè) ∈（0，+），使得>0，記>0，

因?yàn)?/span>是二階比增函數(shù)，即是增函數(shù)。所以當(dāng)x>時(shí)，>，所以 ，

所以一定可以找到一個(gè)>，使得>>k，這與<k對(duì)∈（0，+）成立矛盾，

≤0對(duì)x∈（0，+）成立，所以 ∈，≤0對(duì)x∈（0，+）成立。

下面我們證明在（0，+）上無(wú)解：

假設(shè)存在>0，使得=0，則因?yàn)?/span>是二階增函數(shù)，即是增函數(shù)，

一定存在>>0，>，這與上面證明的結(jié)果矛盾。所以在（0，+）上無(wú)解。

綜上，我們得到 ∈，<0對(duì)∈（0，+）成立，

所以存在常數(shù)M≥0，使得 ∈，x∈（0，+），有M成立，

又令=（>0），則<0對(duì)x∈（0，+）成立，

又有在（0，+）上是增函數(shù)，所以，

而任取常數(shù)k<0，總可以找到一個(gè)>0，使得>時(shí)，有>k，所以M的最小值為0。