Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AB和BC的中點，G為上底面A₁B₁C₁D₁的中心．
（I）求AD與BG所成角的余弦值；
（II）求二面角B-FB₁-E的大小；
（III）求點D到平面B₁EF的距離．

Answer 1

分析：（I）以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出AD與BG的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出AD與BG所成角的余弦值；
（II）分別求出平面B₁EF的法向量和平面BFB₁的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角B-FB₁-E的大小；
（III）由（II）中結(jié)論，平面B₁EF的法向量

m

=（2，2，-1），又由

DB1

=（a，a，a）．代入d=

| DB1 • m |

| m |

，即可求出點D到平面B₁EF的距離．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz．
則A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，

a

2

，0），F(xiàn)（

a

2

，a，0），B₁（a，a，a），G（

a

2

，

a

2

，a），
（I）∵

AD

=（-a，0，0），

BG

=（-

a

2

，-

a

2

，a），
令AD與BG所成角為θ，
∴cosθ=

AD • BG

| AD |•| BG |

=

6

6

．
∴AD與BG所成角的余弦值為

6

6

．
（II）設(shè)平面B₁EF的法向量為

m

=（x，y，z）．
∵

EF

=（-

a

2

，

a

2

，0），

EB1

=（0，

a

2

，0）
則

m

•

EF

=0，

m

•

EB1

=0．
∴

- a 2 x+ a 2 y=0 a 2 y+az=0

取y=2，則x=2，z=-1．
∴可取

m

=（2，2，-1），
顯然DC⊥平面BFB₁．∴可取平面BFB₁的法向量

n

=（0，1，0）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

3

．
∴所求二面角的大小為arccos

2

3

．
（III）由（II）已求平面B₁EF的法向量

m

=（2，2，-1），又

DB1

=（a，a，a）．
∴點D到平面B₁EF的距離d=

| DB1 • m |

| m |

=a．
∴點D到平面B₁EF的距離為a．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，異面直線及其所成的角，點到平面之間的距離，其中（I）的關(guān)鍵是求出AD與BG的方向向量，（II）的關(guān)鍵是求出平面B₁EF的法向量和平面BFB₁的法向量，（III）的關(guān)鍵是求出平面B₁EF的法向量

m

=（2，2，-1），及D與平面B₁EF任一點連線的方向向量，如

DB1

=（a，a，a）．