Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，且對任意n∈N^*都有2pS_n=a_n²+pa_n（其中p＞0為常數(shù)）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若對任意n∈N^*都有…+＜1成立，求p的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當n=1時，2pS₁=a₁²+pa₁，∴a₁=p，
∵2pS_n=a_n²+pa_n，∴n≥2時，2pS_n-1=a_n-1²+pa_n-1，
兩式相減可得p（a_n+a_n-1）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=p
∴數(shù)列{a_n}是首項和公差都為p的等差數(shù)列
∴a_n=np；
（2）由（1）知，∴=
∴…+=（1-+-+…+）==
∵對任意n∈N^*都有…+＜1成立，
∴
∴
∵
∴≥1，即p≥2．
分析：（1）利用數(shù)列遞推式確定首項，再寫一式，兩式相減，即可得到結(jié)論；
（2）利用裂項法可求…+，結(jié)合…+＜1成立，即可求p的取值范圍，求p的取值范圍．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查裂項法的運用，屬于中檔題．